V roce 1956 publikoval John L. Kelly Jr. z Bell Labs článek, který změnil svět investování i sázení. Přitom řešil problém šumu na telefonních linkách. Jeho vzorec pro optimální velikost sázky se stal jedním z nejcitovanějších nástrojů v teorii her – a jedním z nejčastěji špatně aplikovaných v praxi sázení na fotbal.
Kelly Criterion odpovídá na jednu klíčovou otázku: jakou část bankrollu mám vsadit, abych maximalizoval dlouhodobý růst kapitálu? Ne výhru z jedné sázky, ne pocit jistoty – ale matematicky optimální tempo, kterým bankroll roste přes stovky a tisíce sázek.
Vzorec Kelly Criterion – rozklad a vysvětlení
Fotbal na online trhu drží 35,27 % tržního podílu a tisíce sázkařů denně řeší otázku, kolik vsadit. Kelly Criterion nabízí přesnou odpověď v jednom vzorci: f = (b krát p minus q) děleno b. Kde f je podíl bankrollu, který vsadit, b je kurz minus 1 (čistý zisk na jednotku sázky), p je vaše odhadovaná pravděpodobnost výhry a q je pravděpodobnost prohry (1 minus p).
Rozložím to na části. Čitatel vzorce – b krát p minus q – měří vaši výhodu. Pokud je kladný, máte value bet. Pokud je nulový nebo záporný, Kelly říká: nesázej. Jmenovatel – b – normalizuje výhodu vzhledem ke kurzu. Vyšší kurz znamená vyšší potenciální výnos, ale taky vyšší riziko, takže vzorec doporučí vsadit menší podíl bankrollu.
Celá elegance Kelly spočívá v tom, že automaticky balancuje mezi dvěma extrémy. Příliš malá sázka nevyužije vaši výhodu. Příliš velká sázka riskuje katastrofální ztrátu. Kelly najde bod, kde je tempo růstu bankrollu maximální – ne průměrný výnos, ale geometrický růst, což je zásadní rozdíl.
Většina sázkařů intuitivně chápe, že sázet celý bankroll na jednu sázku je šílené. Kelly Criterion formalizuje tuto intuici a dává jí přesný matematický rámec. Vzorec vám neřekne jen „nesázejte příliš“ – řekne vám přesně, kolik vsadit, aby váš bankroll rostl nejefektivněji.
Proč geometrický růst? Protože sázkař sází opakovaně z bankrollu, který se mění s každou sázkou. Pokud ztratíte 50 % bankrollu, potřebujete 100% výnos, abyste se vrátili na původní úroveň. Kelly Criterion tuto asymetrii zohledňuje a chrání před nadměrným rizikem.
Praktický příklad: výpočet Kelly pro fotbalovou sázku
Mám zápas, kde bookmaker nabízí kurz 2.50 na výhru domácího týmu. Po analýze odhaduji, že skutečná pravděpodobnost výhry domácích je 45 % – tedy vyšší, než naznačuje kurz (implikovaná pravděpodobnost z kurzu 2.50 je 40 %). Jak velkou část bankrollu vsadit?
Dosadím do vzorce: b = 2.50 minus 1 = 1.50. p = 0.45. q = 0.55. Kelly f = (1.50 krát 0.45 minus 0.55) děleno 1.50 = (0.675 minus 0.55) děleno 1.50 = 0.125 děleno 1.50 = 0.0833. Kelly doporučuje vsadit 8.33 % bankrollu.
Pokud je můj bankroll 10 000 Kč, optimální sázka je 833 Kč. Zní to hodně? Pro většinu sázkařů ano. A právě proto existuje fractional Kelly, o kterém píšu níže. Ale nejdřív – co se stane, když moje odhady pravděpodobnosti nejsou přesné?
Změním odhad na 42 % místo 45 %. Kelly f = (1.50 krát 0.42 minus 0.58) děleno 1.50 = (0.63 minus 0.58) děleno 1.50 = 0.0333. Doporučená sázka klesla na 3.33 % bankrollu – méně než polovinu původní hodnoty. Tříprocentní změna v odhadu pravděpodobnosti způsobila 60% pokles doporučené sázky. Kelly Criterion je extrémně citlivý na přesnost vašich odhadů.
Fractional Kelly: proč sázet méně než doporučuje vzorec
Malcolm Sparrow z Harvard Kennedy School to vystihl přesně, když mluvil o tom, že moderní sázkař má kasino v kapse 24 hodin denně. Stejně permanentní je pokušení sázet plný Kelly – a stejně nebezpečné. V praxi nikdo z profesionálních sázkařů, které znám, nepoužívá plný Kelly Criterion. Všichni pracují s frakcí – typicky čtvrtkovým nebo polovičním Kelly.
Důvod je prostý: nikdy neznáte skutečnou pravděpodobnost s dostatečnou přesností. Váš odhad 45 % může být ve skutečnosti 42 % nebo 48 %. Plný Kelly předpokládá, že vaše odhady jsou přesné – a to v reálném světě fotbalového sázení nikdy nejsou. Fixed-odds betting v ČR generovalo 6,9 mld. Kč GGR v prvním pololetí 2025 mimo jiné proto, že většina sázkařů své pravděpodobnosti přeceňuje.
Poloviční Kelly (half Kelly) znamená vsadit 50 % toho, co vzorec doporučí. V příkladu výše místo 833 Kč vsadíte 417 Kč. Tempo růstu bankrollu klesne pouze o 25 %, ale variance se sníží dramaticky. Prakticky to znamená menší drawdowny, menší psychologický tlak a menší riziko, že vás špatný odhad pravděpodobnosti zruinuje.
Čtvrtkový Kelly (quarter Kelly) je ještě konzervativnější a z mé zkušenosti nejlepší volba pro sázkaře, kteří se teprve učí odhadovat pravděpodobnosti. Sázíte 25 % doporučené částky, tempo růstu je pomalejší, ale bankroll je mnohem odolnější vůči chybám. Postupem času, jak se vaše odhady zpřesňují a prokazatelně porážíte closing line, můžete frakci zvýšit.
Jeden praktický tip: nikdy nezvyšujte frakci uprostřed ztrátové série. Tendence „dohnat ztráty“ vyšší sázkou je přesně to, proti čemu bankroll management existuje. Kelly Criterion je nástroj disciplíny, ne výmluva pro agresivnější sázení.
Kdy Kelly Criterion nepoužívat
Kelly má jasné limity a ignorovat je je dražší než celý vzorec neznát. Za prvé: pokud nedokážete odhadnout pravděpodobnost s přesností alespoň plus minus pět procentních bodů, Kelly vám nedá užitečný výsledek. Garbage in, garbage out. Většina začínajících sázkařů své schopnosti odhadu drasticky přeceňuje.
Za druhé: Kelly předpokládá, že sázíte jednu sázku v jednom okamžiku. V realitě máte v sobotu odpoledne šest otevřených sázek současně. Pokud na každou aplikujete plný Kelly nezávisle, celková expozice bankrollu může přesáhnout 50 % – což je extrémně nebezpečné. Při více současných sázkách musíte celkovou expozici limitovat, typicky na 15 až 20 % bankrollu.
Za třetí: Kelly ignoruje emoce. Vzorec nezohledňuje, že po pěti prohrách v řadě budete mít chuť zdvojnásobit sázku, aby se ztráta „vyrovnala“. Pro Kelly je pátá prohra stejná jako první – matematicky. Psychologicky je to jiný svět. Proto fractional Kelly a striktní disciplína nejsou jen doplňky k vzorci – jsou jeho nezbytnou součástí.
Čtvrtý limit, o kterém se mluví méně: Kelly předpokládá, že kurzy jsou stabilní. V reálném světě se kurzy mění od chvíle, kdy je uvidíte, do chvíle, kdy sázku uzavřete. Steam move může posunout kurz z 2.50 na 2.30 za pár minut. Pokud jste Kelly spočítali na kurz 2.50 a vsadili za 2.30, vaše sázka je větší, než by měla být pro nový kurz. V praxi to řeším tak, že Kelly počítám na aktuální kurz v okamžiku sázky, ne na kurz, který jsem viděl při analýze.
Nakonec praktická rada: začněte s tabulkou. Zapište si kurz, váš odhad pravděpodobnosti, výpočet Kelly, skutečnou sázku (fractional Kelly) a výsledek. Po sto sázkách uvidíte, jestli vaše odhady pravděpodobností sedí – a to je informace, která má větší cenu než samotný vzorec.